平面拟合方法

平面拟合是指通过一组离散的点数据，找到最符合这些点数据的平面模型。常用的平面拟合方法之一是最小二乘法（Least Squares Method）。

计算步骤

目的是计算出原始坐标系上拟合平面的法向量。

1. 计算平均值：通过平均一组包含离散点的数据集，得到平均点。

2. 中心化数据：将平均点作为原点，计算数据集中的每个点坐标的新坐标。

3. 构建协方差矩阵：根据中心化后的数据集，计算协方差矩阵。协方差矩阵描述了数据集中各个坐标之间的相关性。

4. 计算特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特征向量表示了数据集中的主要方向。

5. 选择最小特征值对应的特征向量：根据特征值的大小，选择对应最小特征值的特征向量。这个特征向量即为最符合数据集的法向量，也即拟合的平面的法向量。

6. 得到原始坐标系上拟合平面的法向量：将计算得到的法向量转换回原始坐标系，得到拟合平面的法向量。

原理

根据三维点到平面距离最近进行拟合

$$d=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

则可知当距离和最短时有最小值，同时可直接对 $d$ 求平方进行表示，其具有相同的变化趋势则即是求

$$minS=min\sum (A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D{)}^2$$

取偏导可得

$$\begin{array}{}\frac{\partial S}{\partial A}=2(A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D)x_i\\ \frac{\partial S}{\partial B}=2(A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D)y_i\\ \frac{\partial S}{\partial C}=2(A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D)z_i\\ \frac{\partial S}{\partial D}=2(A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D)\end{array}$$

根据平面方程可将 $C$ 消去

$$\frac{A}{C}x+\frac{B}{C}y+z+\frac{D}{C}=0$$

于是可直接令 $C=1$，则可得

$$\left[\begin{array}{ccc}\sum x_i^2& \sum x_i{y}_i& \sum x_i\\ \sum x_i{y}_i& \sum y_i^2& \sum y_i\\ \sum x_i& \sum y_i& \sum 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}A\\ B\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\sum x_i{z}_i\\ -\sum y_i{z}_i\\ -\sum z_i\end{array}\right]$$

求逆即可求到 $A、B、D$ 获得平面信息